Matematika Ekonomi - Matriks

A.  Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang. Ukuran panjang dan lebar matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom pada matriks. Bilangan-bilangan yang menyusun baris dan kolom matriks disebut unsur-unsur atau elemen dari matriks itu sendiri.
Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks.
Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.

Kesamaan Dua Matriks Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya berordo sama dan elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks bernilai sama. Contoh: Apakah kedua matriks tersebut adalah sama? Jawab : Matriks A dan B berordo sama, yaitu 2×2 dan elemen-elemen yang seletak juga sama,sehingga matriks A sam dengan matriks B Beberapa Jenis Matriks ·         Matriks Nol (0) Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol. ·         Matriks bujur sangkar Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.  ·         Matriks Diagonal Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar elemen diagonal utama bernilai nol. ·         Matriks Identitas Adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu. ·         Matriks Segitiga Atas Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol. ·         Matriks Segitiga Bawah Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai nol. Operasi Matriks o   Penjumlahan atau pengurangan matriks Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo A = ordo B o   Perkalian Matriks dengan Skalar Jika Skalar dikalikan dengan matriks, maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen- elemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.  o   Perkalian Dua Matriks Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks pertama (kiri) sama dengan banyak baris matriks kedua (kanan).
B. Determinan Matriks Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi A dinotasikan dengan |A|. ·         Untuk matriks A berordo 2 x 2, determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut. ·         Adapun untuk matriks B berordo 3 x 3, determinan matriks B ini didefinisikan sebagai berikut menggunakan kaidah Sarrus.

C.   Transformasi Elementer Matriks

Transpos matriks adalah pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j. Tranpos dari matriks A dinotasikan dengan A^Tatau A^t

Langkah-langkah mentranspose suatu matriks:

I.     Mengubah baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i matriks baru

II.   Mengubah kolom ke- j matriks A menjadi baris ke-j matriks baru

Sifat-sifat mentranspose suatu matriks (sifat-sifat yang perlu diinga dan kalau perlu dihafalkan agar tidak terjadi kekeliruan)

a)    (A′)′ = A

b)   (A + B)′ = A′ + B′

c)    K (A′) = k, A′ dengan k adalah konstanta

d)   (AB)′ = B′A′

e)     Jika A adalah matriks simetris, maka A′ = A

A=é a b c ù
tttë d e f û 2x3
A^t =é a d ù
      ê b e ú 
tt t  ë c f  û 3x2

D.           Matriks Singular dan Non Singular

Matriks singular adalah matriks yang determinannya = 0, tidak mempunyai invers

Matriks Non Singular adalah matriks yang determinannya tidak sama = 0, mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0

Sifat A . A-1 = A-1 . A = I

Perluasan:

A . B = I    ® A = B^-1      B = A^-1
A . B = C ® A = C . ^B-1   B = A^-1 . C

Sifat-Sifat:

1. (A^t)^t = A
2. (A + B)^t = A^t + B^t
3. (A . B)^t = B^t . A^t
4. (A^-t)^-t = A
5. (A . B)^-1 = B^-1 . A^-1
6. A . B = C ® |A| . |B| = |C|

E.   Invers Matriks

Matriks persegi A mempunyai invers, jika ada matriks B sedemikian hingga AB = BA = I_{n x n}  dengan I matriks identitas. Pada persamaan AB = BA = I_{n x n'}  A dan B disebut saling invers. Berikut ini adalah syarat suatu matriks A mempunyai invers.

• Jika |A| = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu,dikatakan matriks

A sebagai matriks singular.
• Jika |A| ≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu,dikatakan matriks A

 sebagai matriks nonsingular.

F.    Rank dan Dimensi Matriks

•  Rank baris dari matrik A adalah dimensi dari ruang baris matrik A.
•  Rank kolom dari matrik A adalah dimensi dari ruang kolom matrik A.
•  Akan ternyata bahwa rank baris = rank kolom dirulis : “ r (A) “

Rangkuman
Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom. Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks. Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris. Matriks kolom, yaitu matriks yang terdiri dari satu kolom. Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol. Matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Matriks skalar,  yaitu  matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Matriks diagonal, yaitu  matriks persegi yang elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga bawah, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Penjumlahan matriks A + B Pengurangan matriks A -B Perkalian Matriks adalah: Invers Matriks